Día Internacional de las Matemáticas: la historia del enigmático número π (pi) y de su uso

Representante del astro rey en varias culturas, el círculo era y es esencial en diferentes ámbitos de la civilización. Y construir un círculo de cualquier magnitud requiere conocer una aproximación del cociente entre su perímetro C y su diámetro d. Requiere conocer a π.

La relación C/d, que conocemos como π, aparece en las tablas de arcilla mesopotámicas y en papiros egipcios de más miles de años.

En esos tiempos los sistemas numéricos y conocimientos matemáticos eran muy limitados comparados con los actuales. La aproximación de π igual a 3.1416 de uso común era inimaginable en esa época. Durante siglos, la aproximación de π fue 3 o 3.1. Para aumentar un decimal la aproximación, tuvo que aparecer uno de los grandes matemáticos de la historia, Arquímedes.

El invento de Arquímedes

En los años 250 a.e.c., Arquímedes de Siracusa “acorraló” al perímetro del círculo entre dos dodecágonos regulares, uno con vértices en la circunferencia y otro con lados tangentes a la misma.

Calculó los perímetros de los dos dodecágonos y los dividió entre el diámetro del círculo. Así obtuvo que π está entre 3.1058 y 3.2153, donde el primer valor corresponde al perímetro del dodecágono interior entre el diámetro y el segundo es el perímetro del dodecágono exterior entre el diámetro.

Su algoritmo duplicaba los lados de los polígonos regulares en cada paso. Con los polígonos de 96 lados colocó a π entre los valores 223/71 y 22/7, para usar la aproximación 3.14. Arquímedes no continuó con el proceso: suponemos que, para usos prácticos, era más que suficiente.

Avances independientes en China

Dentro del pensamiento humano sucede que el nacimiento de ideas idénticas en esencia se puede dar en contextos desconectados por tiempo, cultura y geografía.

Alrededor del 250 e.c., el matemático chino Liu Hui desarrolló de manera independiente una técnica de aproximación de π similar a la de Arquímedes para proponer el valor practico 157/50=3.14, para lo cual requirió un polígono de 192 lados. Se cree que calculó la impresionante aproximación de 3927/1250=3.1416. ¡Y eso procede de un polígono de 3072 lados!

El cartógrafo chino Zu Chongzhi (429–500) usó la técnica de Liu Hui, para dar una aproximación de 8 cifras de π: 3.1415926.

El algoritmo de Arquímedes inspiró al maestro de esgrima y entusiasta de las matemáticas alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610) a dar los primeros 35 decimales de π. Para el cálculo invirtió 25 años en llegar al polígono de 2⁶² lados, o sea, más de 4 trillones de lados.

Objetos inmensos a través de las matemáticas

¿El algoritmo consistía en dibujar los polígonos y hacer mediciones? Claro que no. Sólo para el polígono regular de 3072 con lados de 1 cm la circunferencia tendría un diámetro de casi 10 m. El polígono de 2⁶² lados de 1 cm, tendría un diametro de millones de veces el diámetro del Sol. Las matemáticas nos permiten manipular objetos inmensos con razonamientos e imaginación.

La llegada del cálculo infinitesimal con Leibnitz y Newton en el siglo XVII representa una de las grandes revoluciones del pensamiento humano y matemático. Esta teoría tuvo un gran impacto en el desarrollo de técnicas que darán lugar a la primera revolución industrial y en los problemas que envuelven a π.

Los decimales de π

En 1706, John Machin calculó los primeros 100 decimales de π, a partir del descubrimiento de una identidad trigonométrica y su expresión en series infinitas (sumas infinitas). En ese año, William Jones usó por primera vez la letra griega π para denotar la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo. Pero fue Leonard Euler (1707-1783) quien popularizó el uso de la letra π a través de su trabajo en series infinitas famosas, cuyo resultado es alguna potencia de π.

Un número irracional y trascendental

Una sospecha que acompañó a todos estos cálculos es que π no puede ser una fracción. O sea, π es irracional. En la década de 1760, el erudito Johann Heinrich Lambert lo demostró. Este hecho implica que la expansión decimal de π es infinita y no periódica, es decir: no existe un bloque de números que se repita, como en el caso de 1/3=0.33333…

Es necesario el cálculo diferencial e integral para abordar esta prueba. La solución de un enigma matemático de al menos dos mil años fue un acontecimiento histórico.

Pero los descubrimientos de propiedades de π no pararon ahí. En 1882 el matemático Ferdinand Lindemann demostró que π es transcendental. Esto quiere decir que π no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, e hizo más evidente la dificultad de calcular sus aproximaciones.

Cien billones de decimales

La comunidad matemática ha continuado el cálculo de aproximaciones de π. Las técnicas más frecuentes se derivan de la formula de Machin, con algunas excepciones. En 1910, el genial matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró una serie infinita, donde cada término de la serie aproxima otros ocho decimales a la expansión decimal de π. Es decir, sumando los primeros cinco términos de la serie obtiene 40 decimales de π, en cuestión de horas de cálculos a mano.

El ultimo cálculo a mano se debe a D. F. Ferguson, en 1945, quien logró calcular 530 decimales de π. Él mismo, con ayuda de una calculadora de escritorio, llegó a los primeros 808 decimales.

Desde los años sesenta, las aproximaciones de π se han convertido en una prueba de la eficiencia de los algoritmos y de poder de cálculo de los supercomputadores. Muchos de los algoritmos usaban la fórmula de Machin, pero el récord lo ostentan los 100 billones (10¹⁴) de decimales de π a manos de Emma Haruka Iwao y de Google Cloud en 2022. Esta informática vietnamita usó el algoritmo Chudnovsky basado en la fórmula de Ramanujan durante 158 días de cómputo. Y todavía hay preguntas sin resolver al rededor de π.

Por: Diego Rodríguez Guzmán

Técnico Académico en Matemáticas Básicas, Universidad de Guadalajara

Artículo publicado originalmente en The Conversation